La legge universale

Fiore di girasole

Ce lo insegnano fin dai primi anni di scuola: non esistono due fiocchi di neve identici. È una definizione banale, ma assolutamente veritiera: pur avendo una simmetria esagonale, per via della medesima struttura microscopica di base, essi danno luogo a un numero infinito di forme, per cui in una nevicata è praticamente impossibile trovare due fiocchi di neve gemelli. Nonostante l'affermazione convenzionale, l'argomento è tutt'altro che semplice e arriva a coinvolgere discipline assai diverse fra loro come la matematica, la meteorologia, la storia e addirittura la botanica. Il primo a occuparsi scientificamente dei fiocchi di neve è stato Keplero, nel 1611, realizzando un libretto curioso dal titolo Strena seu de nive sexangula (Sul fiocco di neve a sei angoli). In esso affrontava l'argomento dando per scontata la difformità dei fiocchi nevosi - già da allora intuibilmente dovuta a fattori inerenti temperatura, pressione e umidità - e ponendosi, piuttosto, l'enigmatico quesito: perché tutti i fiocchi di neve presentano una tipica struttura esagonale? Da questo dubbio nasce la cosiddetta “congettura di Keplero”, elaborata proprio per risolvere il mistero della loro geometria. Il matematico non formulò da solo le sue teorie, ma si avvalse del contributo di figure carismatiche dell'intellighenzia dell'epoca, come il matematico Thomas Harriot, impegnato per anni a spiegare quale fosse il modo migliore per sistemare le palle di cannone sui ponti delle navi. Nel testo arrivò pertanto a spiegare che i fiocchi di neve si organizzano su base esagonale, perché – proprio come accade alle palle di cannone su una nave posizionate per occupare meno spazio – è questo l'ordinamento ideale per raggiungere il medesimo scopo a livello molecolare (tenendo conto del fatto che l'aggregazione dei cristalli di ghiaccio nell'atmosfera è governata da dinamiche chimiche legate alla natura atomica della materia). Ma pensandoci bene, l'occupazione esagonale degli spazi è assai produttiva anche in altri ambiti, a noi ben più congeniali. Quando andiamo dal fruttivendolo, per esempio, dando un'occhiata alla cassetta delle mele o delle arance, noteremo che i frutti non sono distribuiti casualmente, né di solito in file verticali e orizzontali, ma secondo una disposizione diagonale, tale per cui ogni frutto viene accolto nella “ascella” che si forma fra altri due adiacenti. «È facile constatare che nella tipica disposizione della frutta nelle cassette ciascun frutto è circondato da altri sei», spiega Giorgio Bardelli, naturalista del Museo Civico di Storia Naturale di Milano. «Se si immagina che i singoli frutti si attraggano reciprocamente in modo da occupare il minimo spazio, è proprio questa la disposizione geometrica che ne deriva, la migliore dal punto di vista dell’efficienza di immagazzinamento». 

Tipi di fiocchi di neve

 A questo punto, però, è lecito porsi un ulteriore quesito: perché è necessario che i fiocchi di neve occupino meno spazio, considerando che fra le nuvole c'è tutto lo spazio che si vuole? E qui, ancora una volta, si torna alla lungimiranza di Keplero che, pur non avendo grandi mezzi a disposizione, riuscì a comprendere che, evidentemente, vi fossero delle “entità” (che oggi sappiamo chiamarsi molecole) che interagivano fra loro, trovando il giusto equilibrio solo osservando disegni geometrici ben precisi, in questo caso particolare di natura esagonale. Si affronta, peraltro, un discorso simile in mineralogia, nell'ambito del cosiddetto sistema esagonale, forgiato per distinguere uno dei sette sistemi cristallini alla base di minerali arcinoti come il berillo, la grafite, e l'apatite. Di nuovo matematica e prodotti naturali vanno, dunque, a braccetto, confortando le tante tesi elaborate nei secoli da scienziati, naturalisti e filosofi della scienza: «La natura presenta regolarità matematiche, perché le leggi fisiche che le producono sono leggi matematiche», spiega ancora oggi Ian Stewart, professore di matematica presso la Warwick University e famoso divulgatore scientifico. Sicché Keplero aveva chiaramente fatto centro, tuttavia non fu mai in grado di raggiungere una dimostrazione matematica rigorosa. Ecco perché ci si limita a parlare di congettura. Ma sono stati fatti passi da gigante dalla sua epopea e benché non si possa ancora dire di aver risolto il dilemma, la formulazione di una teoria che spieghi la geometria dei fiocchi di neve potrebbe davvero essere dietro l'angolo. Hanno approfondito l'argomento il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, rifacendosi a una “griglia regolare” intarsiata da particolari sfere, e David Hilbert, anch'egli di origine germanica, che, però, alla fine getta la spugna includendo la congettura di Keplero nella sua lista dei ventitré problemi matematici irrisolti. Un aiuto arriva anche da Laszlo Fejes Toth, matematico ungherese, e Wu-Yi-Hsiang dell'University of California di Berkeley che nel 1993 sviluppa un procedimento non ancora confutato, ma giudicato dall'establishment accademico mondiale “incompleto”. Per “esaustione” sarebbe, però, giunto davvero a un passo dalla soluzione Thomas Hales dell'University of Michigan. Hales propone fin dal 1998 un procedimento computeristico che secondo gli Annals of Mathematics rispetterebbe al 99% le esigenze della dimostrazione. Ma la corsa non è ancora finita e la natura geometrica delle cose pare suggerire l'ennesima sarcastica e provocante domanda: «La matematica si inventa o si scopre?». 

Un fiocco di neve al microscopio

Di fatto l'occupazione strategica degli spazi non è esclusivo appannaggio dei fiocchi di neve, essendo tipica anche di molte altre realtà del mondo naturale. Basta guardarci intorno e osservare, per esempio, un ananas, la pigna di una conifera, i petali di una rosa, il capolino di un girasole. Cosa hanno in comune tutti questi rappresentanti del mondo vegetale oltre al fatto di appartenere a un preciso ordine botanico? Apparentemente nulla, ma un'indagine più accorta mostrerebbe, invece, che, come nei fiocchi di neve, anche qui sussiste l'innato tentativo di riempire gli spazi con precisione certosina: i capolini del girasole, seguendo linee curve perfettamente tracciate; le pigne, dando vita a brattee legnose giustapposte; i petali di una rosa, abbarbicandosi l'uno all'altro; l'ananas, realizzando rosette carnose che si rincorrono serrando ogni spiraglio. In questo caso, però, il significato del fenomeno (almeno macroscopicamente) trascende la chimica delle molecole, coinvolgendo una ben più prosaica realtà: la selezione naturale. Tutte queste prerogative vegetali, infatti, volgono in una sola direzione: permettere alle piante di produrre il maggior numero di semi possibili, occupando il minor spazio. È, in pratica, una strategia assimilata nel tempo per facilitare la trasmissione della specie, così come lo è il progressivo allungamento del collo di una giraffa, tale da permettere agli esemplari più dotati di alimentarsi meglio e riprodursi, di conseguenza, con maggiore successo. Non tutti i vegetali adottano questo stratagemma, ma molti sì. E anche qui, quindi, la matematica e la geometria cooperano nel conferire forme precise alle tante espressioni naturali, non solo biologiche. Frattanto è impossibile trascendere da un altro aspetto matematico preponderante: i numeri di Fibonacci. 

Le spirali di un Nautilus

È una sequenza matematica basata sul presupposto che ogni elemento è uguale alla somma dei due precedenti: sicché i primi numeri della sequenza sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, mentre gli ultimi non esistono, poiché la sequenza prosegue all'infinito. La curiosità consiste nel fatto che in molte specie vegetali, prima fra tutte le composite (la famiglia del girasole), il numero dei fiori, dei petali o delle delle foglie, corrisponde a un numero di Fibonacci: si va dal cinque al 377, passando per tutti gli altri numeri intermedi che tipicizzano le tante specie soggette al fenomeno. I gigli hanno tre petali, i ranuncoli cinque, la calendula tredici, le margherite trentaquattro (ma anche 55 e 89) e così via. Per le brattee delle pigne è la stessa cosa. Uno studio effettuato su 4mila pigne appartenenti a varie pinacee ha provato che oltre il 98% di esse contiene un numero di Fibonacci. Analogo il discorso per le scaglie di ananas: una ricerca compiuta su 2mila frutti ha, infatti, dimostrato una corrispondenza del 100% fra le scaglie e i numeri di Fibonacci. Come ricorda Bardelli, «questi numeri prendono nome dal matematico Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, che li introdusse nel 1202. Le interessanti proprietà di questa successione numerica interessarono anche Keplero, che li citò nel suo Strena seu de nive sexangula. Soltanto molto tempo più tardi i numeri di Fibonacci furono inaspettatamente ritrovati in alcune strutture biologiche, come quelle di molti fiori e frutti». E non finisce qui, perché a questo incredibile ordine matematico obbedisce anche la disposizione di determinate foglie intorno al proprio fusto: un altro pretesto evolutivo, per consentire ai vegetali di godere al meglio dell'irraggiamento solare, fondamentale per la buona salute di una pianta, e quindi per una efficace produzione di frutti e semi.

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