Si dice che una successione an di numeri reali tende all'infinito positivo se essa assume, per n tendente all'infinito, valori arbitrariamente alti; dato cioè un qualsiasi numero K>0, esiste un numero H, dipendente da K, tale che per ogni n>H si ha a>K. In questo caso si dice che il limite di a per n tendente all'infinito è uguale a “più” infinito e si scrive:
Analogamente si dice che una successione an di numeri reali tende all'infinito negativo se essa assume, per n tendente all'infinito, valori arbitrariamente bassi; dato cioè un qualsiasi numero K>0, esiste un numero H, dipendente da K, tale che per ogni n>H si ha a<-K. In questo caso si dice che il limite di a per n tendente all'infinito è uguale a “meno” infinito e si scrive:
In ambedue i casi si dice che la successione è divergente. Per il calcolo dei limiti è importante confrontare successioni divergenti. Date due successioni divergenti, a e b si consideri il rapporto b/a e se ne calcoli il limite per n tendente all'infinito. Allora: 1) se il limite, per n tendente a infinito, della successione b/a è uguale a infinito (positivo o negativo), si dice che b è infinito di ordine superiore ad a; 2) se il limite, per n tendente a infinito, di b/a è uguale a un numero k≠0, si dice che b è infinito dello stesso ordine di a; 3) se il limite, per n tendente a infinito, di b/a è uguale a 0, si dice che b è infinito di ordine inferiore ad a; 4) se la successione b/a non tende ad alcun limite, si dice che b non è confrontabile con a. Inoltre, se a>0 ed esiste un numero h tale che b è infinito dello stesso ordine di a, si dice che b è infinito di ordine h rispetto ad a preso come infinito campione. Si può dimostrare che, se a e b sono infiniti e a´ e b´ sono infiniti di ordine inferiore rispettivamente ad a e a b, allora:
purché questi due limiti esistano. Si dice che una funzione y=f(x) tende all'infinito positivo, per x tendente a x0, quando essa assume, nell'intorno di x0, valori arbitrariamente alti; dato cioè un qualsiasi numero K>0, esiste un numero δ, dipendente da K, tale che per ogni punto x distante da x0 meno di δ si ha f(x)>K. In questo caso si dice che il limite di f(x) per x tendente ad x0 è uguale a “più” infinito e si scrive:
Analogamente si dice che una funzione y=f(x) tende all'infinito negativo, per x tendente a x0, quando essa assume, nell'intorno di x0, valori arbitrariamente bassi; dato cioè un qualsiasi numero K>0, esiste un numero δ, dipendente da K, tale che per ogni punto x distante da x0 meno di δ si ha f(x)<-k. In questo caso si dice che il limite di f(x) per x tendente ad x0 è uguale a “meno” infinito e si scrive:
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